Паркетная комбинаторика

Комбинаторика в дизайне: сочетания цветов

У каждого человека своё личное восприятие цвета. Каждый по-своему относится к тем или иным цветам и их сочетаниям. Например, для кого-то чёрный — «мрачновато или загробно», а чёрный костюм и автомобиль — это «солидно и круто». Получается, что для кого-то одни цвета и сочетания приятные, а для кого-то нет. И тут начинаются аргументы, почему тот или иной цвет плохой.

Памятка начинающим дизайнерам. Какие цвета нельзя использовать и почему.
Сводная таблица мнений заказчиков. © Fastway

Однажды в магазине я долго листал книгу Михаила Матюшина «Справочник по цвету. Закономерность изменяемости цветовых сочетаний». Внутри есть схемы различных сочетаний цветов, показано их взаимодействие друг с другом, соотношение площадей, залитых цветом. Из-за разницы этих соотношений восприятие цветового сочетания меняется.

Мне очень понравился принцип, по которому строились эти цветовые сочетания и я решил поиграться с цветами. Взял пачку старой цветной бумаги и нарвал из нее кусочков разных размеров в пропорции 1-2-4. А потом наклеил их на листы бумаги. Из трех цветов получилось 6 цветовых сочетаний.

На первый взгляд они все выглядят похоже. Но если посмотреть внимательно, то каждое сочетание создает различное впечатление. Представьте, что это образец обоев, представьте, что так будут выглядеть обои в вашей комнате. Сразу будет понятно, что это давит, это слишком яркое, а это слишком бледное. А вот это вполне ничего.

У меня было 8 цветов в пачке и свободный вечер. Мне стало интересно, сколько вариантов сочетаний цветов можно получить в итоге. Самым простым способом подсчитать варианты было просто их перечислить. В результате перечисления получилось 56 цветовых схем (8 цветов в комбинациях по 3).

Очевидно, что существует формула расчета комбинаций, которую я не знаю. Попробовав различные варианты подсчёта, ничего похожего найти не удалось. С помощью бумажки я стал вести расчет так:

  • 3 цвета — 1 сочетание
  • 4 цвета — 4 сочетания
  • 5 цветов — 10 сочетаний
  • 8 цветов — 56 сочетаний

А дальше тяжело. А что если цветов не 8, а больше? Или если в комбинации не три цвета, а два или четыре, или больше? Обратился за помощью к эксперту, и мне быстро подсказали формулу.

Для тех, кто как я, терпеть не мог высшую математику, восклицательный знак в формуле — это факториал. Это означает, что нужно перемножить числа от одного до n. Здесь m — количество цветов в комбинации, n — общее количество цветов.

С помощью этой формулы можно подсчитать любое количество сочетаний и схем. Например, при 3 цветах в схеме и 7 цветах в наборе получится 35 сочетаний, а при 4 цветах в схеме и 10 цветах в наличии получится уже 210 различных сочетаний и т. д.

Interaction of Color — приложение на основе книги и курса по цветоведению американского художника Джозефа Альберса. В нём можно почитать о теории цвета, создавать цветовые комбинации и выполнять упражнения.

Факториал числа n — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно. В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки.

Такой же эксперимент можно провести с формой. Пусть у нас будет квадрат 3 × 3, в котором одна клетка другого цвета. Логично, что получится 9 вариантов. А если две клетки другого цвета? То уже 36 вариантов. Если три клетки — 84 варианта. А если увеличить количество клеток другого цвета и в каждой форме закодировать символ, то получится QR-код!

Спросите, зачем всё это? Чтобы представлять себе объём работы. Иногда в процессе работы возникает огромное количество вариантов, на которые тратится драгоценное время. Когда я начал клеить эти бумажки, мне казалось, что это занятие на час, но оно заняло целый вечер и даже не хватило бумаги, чтобы сделать все варианты цветовых сочетаний. 🙂

ABCD, BACD, CABD, DABC
ABDC, BADC, CADB, DACB
ACBD, BCAD, CBAD, DBAC
ACDB, BCDA, CBDA, DBCA
ADBC, BDAC, CDAB, DCAB
ADCB, BDCA, CDBA, DCBA

Наведите свой мобильный телефон на этот код, чтобы добавить меня в свою адресную книгу.

Паркетная комбинаторика

Комбинаторика -это раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка).

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Архитектурная комбинаторика – это раздел архитектурной теории, изучающий вопросы формообразования на основе различных комбинаций.
Архитектурная комбинаторика объединяет в себе концептуальную и формальную комбинаторику.
Концептуальная комбинаторика- это подбор различных концепций, идей, принципов для решения поставленных задач, образование из них любых возможных комбинаций, замена одних идей, принципов, схем и т.п. другими, корректирование, трансформация проектных идей .
Формальная комбинаторика- интерпретация идеи, принципа, образа, схемы в комбинациях материальных элементов формы и их качеств, опредмечивание идеи с помощью комбинаций элементов и качеств.
Архитектурная комбинаторика проявляется, если сравнивать повторяющиеся устойчивые формы, которые можно отнести к категории- морфотипы
При этом морфотипы существуют уже столетиями и только из века в век видоизменяются в рамках другого стиля.
К примеру морфотип- Портал:

Читать еще:  Подиум в квартире: 8 стильных и функциональных решений

В число комбинаторных изменяемых характеристик здесь входят:

  • размеры и пропорции портала;
  • размеры и пропорции входного проема;
  • конфигурация завершающей части проема ( тип арки, прямая балка и т.п.);
  • горизонтальные и вертикальные членения всего портала;
  • характер завершающей части портала;
  • Стилистические признаки;
  • материал и конструкция;
  • архитектурные детали;
  • Знаковое содержание (вход в храм, во дворец, в жилой дом, для массовой публики, реклама и т.д.)

Еще один пример архитектурной комбинаторики в более мелких деталях – архитектурные профили, в которых тоже меняются свойственные им признаки.

К ним относятся:

  • набор образующих элементов (полочка, скоция, валик, выступ, гусек и т.д.)
  • сечение этих элементов (высота, вынос, начертание кривых линий);
  • сочетание элементов, порядок их расположения относительно друг друга;
  • число элементов в профиле;
  • степень соответствия канону ( например ордеру).


Необходимо отметить, что комбинаторика осуществляется по многим направлениям и не сводится к простым перестановкам элементов и их сочетаниям. Это нечто больше, чем геометрическая игра с формой.
За внешним, видимыми изменениями формы существует еще одна комбинаторная сфера – это сфера идей, принципов, а также утилитарных, информативных эстетических и др. функций. Однако этот концептуальный и функциональный уровень комбинаторики изучен крайне мало.
Анализ вариантов морфотипов может дать ответ на вопрос о закономерности комбинаторики. Существует ли она? И в чем она заключается? Можно ли на ее основе создать алгоритм процесса?

ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ

На концептуальном уровне основной операцией является подбор и объединение идей, образов, принципов и т.п. , призванных инициировать процесс формального комбинирования. Идеи могут быть главными и вспомогательными. Из их сочетания складывается идейная среда, питающая формальный уровень комбинаторики.
Спектр формальных операций значительно шире. Они делятся на четыре группы:

  • 1. Выбор и замена элементов
  • 2. Изменение качеств элементов, в том числе:
  • изменение конфигурации;
  • изменение размеров;
  • раскрашивание ( т.е. присвоение негеометрических свойств)
  • 3.Позиционирование элементов, в том числе:
  • изменение интервала между элементами;
  • наслоение фигур;
  • вписывание фигур;
  • блокировка элементов и фигур.
  • 4. Изменение количества элементов

С помощью этих операций создаются любые сочетания из любых элементов. В живом творческом процессе применяют чаще всего по нескольку операций одновременно или последовательно.

ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РЕШЕТКИ

Свойства решеток наиболее часто использовались в комбинаторном проектировании.
Еще в 60-е годы американский архитектор У.Неча, предложил свою «теорию поля», основанную на использовании свойств решеток для вариантного проектирования, т.е. комбинаторных процедур.
Суть в том, что решетки обеспечивают упорядоченность структуры объекта. Вносят в него начало регулярности.
Решетки встречаются в градостроительных системах, в планах, фасадах, в конструктивных структурах зданий и даже в отдельных деталях зданий.
Кстати распространенность и значимость решеток не является привилегией архитектуры. Они есть всюду и отражают одну из универсальных основ строения любых материальных форм.

Свойства решеток использовались в советские годы для типизации проектных решений. По сути, модульное проектирование основано на этих свойствах.
Важно отметить, что решетки очень разнообразны по своему строению, их диапазон огромен, от простых квадратных сеток до сложнейших орнаментальных композиций.
Одним из свойств решеток является их размещающая способность. Суть этого свойства состоит в том, что уменьшая или увеличивая базовую ячейку решетки, можно менять степень деталировки плана или иных конфигураций.

ПОЗИЦИОНИРОВАНИЕ

Позиционирование означает определение места того или иного элемента в создаваемой с его участием системе. Системой может быть композиция плана, фасада, генерального плана или архитектурной детали.
Формирование любой такой системы неизбежно связано с позиционированием элементов, поскольку целый ряд качеств упомянутых систем зависит исключительно от расположения их элементов.
Размещая элементы в структуре, мы устанавливаем либо на плоскости, либо в пространстве их отношения между собой.
Вариантов и способов позиционирования множество: изменение интервала, наслоение объектов, по линии, параллельно, пересекая и т.д.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Этот материал лишь частично открывает завесу возможности комбинаторики в архитектуре. Стоит также отметить, что архитектурная комбинаторика пока еще мало изучена. При этом, имеет значительные перспективы потому, что вопросы математического вычисления объектов в пространстве решаются программированием. Это значит, что некоторые этапы проектных задач смогут стать автоматизированными.
Источник:
Пронин Е.С. Теоретические основы архитектурной комбинаторики.

Комбинаторика — основные понятия и формулы с примерами

Комбинаторика — раздел математики. Основные понятия и формулы комбинаторики как науки применяются во всех сферах жизни.

Неудивительно, что она включена в программу 11 класса, а также во вступительные испытания во многих ВУЗах РФ. Ее основы лежат в прикладном искусстве многих сфер деятельности человека.

Ее история насчитывает более 6 веков. Первые комбинаторные задачи появились в трудах философов и математиков Средневековья.

Представители того научного мира пытались найти методы решения таких задач, их базовые правила и понятия, утвердить уникальные формулы и уравнения для тех, кто ещё не встречался с ними. Такая информация в наше время называется информацией «для чайников».

Попытаемся разобраться в аспектах этой области науки: каковы элементы, свойства, правила, методы и основное ее применение в нашей жизни? Конечно, всю область в одной статье невозможно охватить. Поэтому ниже будет представлено всё самое основное.

Что такое комбинаторика в математике

Суть этого термина дают книги прошлых лет: это раздел математики, занимающийся операциями со множеством элементов.

В интернете есть учебники по информатике и математике для детей, школьников, сборники материалов и задач для начинающих, где в доступном виде объяснена «занимательная» комбинаторика. Нужно твердо выяснить, как решать подобные задачи.

Читать еще:  Выбор матраса для двуспальной кровати: на что обратить внимание

В младших классах задачи на эту тему решают на дополнительных кружках, а в школах с углубленным изучением математики — на основных уроках. К тому же, задачи по комбинаторике включены в олимпиады всех уровней.

Основные понятия

  1. Элемент – любой объект или явление, входящий в искомое множество.
  2. Сочетание – подмножества, находящиеся в произвольном порядке в исходном множестве.
  3. Перестановка – элементы во множестве находятся в строго определенном порядке.
  4. Размещение – упорядоченные подмножества в исходном множестве.

Правило произведения

Является одним из основных правил при решении таких задач и звучит так:

При выборе элемента А из n способов и выборе элемента В из m способов верно утверждение, что выбрать пару А и В одновременно можно n*m способами.

Рассмотрим на конкретных примерах.

Задача №1.

В коробке лежит 2 мяча и 6 скакалок. Сколько существует способов достать 1 мяч и 1 скакалку?

Ответ прост: 2 * 6 = 12.

Задача №2.

Есть 1 кубик, 2 шарика, 3 цветка и 4 конфеты. Сколькими способами можно вытянуть кубик, шарик, цветок и конфету?

Решение аналогично: 1 * 2 * 3 * 4 = 24.

Причем левую часть можно записать гораздо проще: 4!

! в данном случае является не знаком препинания, а факториалом. С помощью него можно вычислить более сложные варианты и решать трудные задачи (существуют разные формулы, но об этом позже).

Задача №3.

Сколько двузначных чисел можно составить из 2 цифр?

Задача №4.

Сколько десятизначных чисел можно составить из 10 цифр?

Правило суммы

Тоже является базовым правилом комбинаторики.

Если А можно выбрать n раз, а В — m раз, то А или В можно выбрать (n + m) раз.

Задача №5.

В коробке лежат 5 красных, 3 желтых, 7 зеленых, 9 черных карандашей. Сколько есть способов вытащить 1 любой карандаш?

Ответ: 5 + 3 + 7 + 9 = 24.

Сочетания с повторениями и без повторений

Под этим термином понимают комбинации в произвольном порядке из множества n по m элементов.

Число сочетаний равно количеству таких комбинаций.

Задача №6.

В коробке находится 4 разных фрукта. Сколькими способами можно достать одновременно 2 разных фрукта?

Где 4! – комбинация из 4 элементов.

С повторениями чуть сложней, комбинации считаются по такой формуле:

Задача №7.

Возьмем тот же самый случай, но при условии, что один фрукт возвращается в коробку.

Размещения с повторениями и без повторений

Под этим определением понимают набор m элементов из множества n элементов.

Задача №8.

Из 3 цифр надо выбрать 2, чтобы получались разные двузначные числа. Сколько вариантов?

А как же быть с повторениями? Здесь каждый элемент может размещаться несколько раз! В таком случае общая формула будет выглядеть следующим образом:

Задача №9.

Из 12 букв латинского алфавита и 10 цифр натурального ряда надо найти все варианты составления автомобильного кода региона.

Перестановки с повторениями и без повторений

Под этим термином понимают все возможные комбинации из n элементного множества.

Задача №10.

Сколько возможных пятизначных чисел можно составить из 5цифр? А шестизначных из 6 цифр? Семизначных из 7 цифр?

Решения, согласно вышеприведенной формуле, следующие:

А как же быть с повторениями? Если в таком множестве есть одинаковые по своей значимости элементы, то перестановок будет меньше!

Задача №11.

В коробке есть 3 одинаковых карандаша и одна ручка. Сколько перестановок можно сделать?

Ответ прост: 4! / (3! * 1!) = 4.

Комбинаторные задачи с решениями

Примеры всех возможных типов задач с решениями были даны выше. Здесь попробуем разобраться с более сложными случаями, встречающимися в нашей жизни.

Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения.

Эмоциональное выгорание педагогов. Профилактика и способы преодоления

Как отличить простую усталость от профессионального выгорания?

Можно ли избежать переутомления?

Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения.

Определение: Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов .

Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д.

Термин «комбинаторика» был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, — всемирно известным немецким учёным.

Комбинаторные задачи делятся на: задачи на перестановки , задачи на размещение, задачи на сочетание

Определение: Факториал – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

Обозначение: n ! = 1 · 2 · 3 · . · n.Читается: «эн факториал».

Пример: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Задачи на перестановки

Сколькими способами можно расставить 3 различные книги на книжной полке?

Это задача на перестановки.

Решение: Выбираем одну из 3-х книг и ставим на первое место. Это можно сделать 3-мя способами.

Вторую книгу мы можем выбрать из 2-х оставшихся двумя способами, получаем 3·2 способов.

Третью книгу мы можем выбрать 1 способом.

Получится 3·2·1=6 способов.

Определение: Перестановками из n элементов называются комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов.

Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно переставить n объектов?»

Пример 1. Сколькими способами можно расставить 8 участников финального забега на восьми беговых дорожках?

Решение: P 8 = 8!=1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 = 40320.

Пример 2. Сколькими способами можно составить расписание на один день, если в этот день предусмотрено 6 уроков по 6 разным предметам?

Читать еще:  Как выбрать душевой поддон?

Решение: P 6 = 6!=1 ∙2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720.

Пример 3. Сколькими различными способами можно разместить на скамейке 10 человек?

Решение: P 8 = 8!=1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 ∙ 10 = 3628800.

Пример 4. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора?

Решение: P 4 = 4!=1 ∙2 ∙ 3 ∙ 4 = 24.

Пример 5. Сколько различных шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что цифры в числе не повторяются?

Решение: Чтобы число было кратным 5, цифра 5 должна стоять на последнем месте. Остальные цифры могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое количество шестизначных чисел, кратных 5, равно числу перестановок из 5 элементов, т.е.

P 5 = 5!=1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120.

Задачи на размещения

Имеется 5 книг и одна полка, такая что на ней вмещается лишь 3 книги.

Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?

Это задача на размещение.

Решение: Выбираем одну из 5-ти книг и ставим на первое место на полке. Это можно сделать 5-ю способами.

Вторую книгу мы можем выбрать 4-мя способами и поставить рядом с одной из 5-ти возможных первых.

Таких пар может быть 5·4.

Третью книгу мы можем выбрать 3-мя способами.

Получится 5·4·3 разнообразных троек. Значит всего способов разместить 3 книги из 5-ти 5·4·3 = 60.

Определение: Размещением из n элементов по k ( k ≤ n ) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.

Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно выбрать k объектов и в каждой выборке переставить их местами?»

Пример 1. Учащиеся второго класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета?

Пример 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 6, 7, 9?

Пример 3. В соревнованиях высшей лиги по футболу участвуют 18 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами могут быть распределены медали между командами?

Пример 4. Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый ящик опускают не более одного письма?

Пример 5. Боря, Дима и Володя сели играть в карты. Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)

– способами можно раздать 3 карты игрокам.

Пример 6. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

– способами можно рассадить в поезде 4 человека.

Задачи на сочетания

Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг?

Это задача на сочетания.

Решение: Книги внешне неразличимы. Но они различаются, и существенно! Эти книги разные по содержанию. Возникает ситуация, когда важен состав элементов выборки, но несущественен порядок их расположения.

123 124 125 134 135 145

Определение: Сочетанием из n элементов по k ( k 6 способами. При этом один вариант (000000) нужно убрать, так как число 0 не рассматривается. Получаем всего 9 6 −1=531440 чисел. Так как всего чисел 1 000 000, то видно, что чисел без единицы среди чисел от 1 до 1 000 000 больше, чем тех, в записи которых единица есть.

Ответ: чисел без единицы больше.

(разработка + презентация) на тему «Комбинаторика для школьников любого возраста»

5. http :// infourok . ru / material . html ? mid =4205 – Урок математики в 7 классе на тему «Комбинаторика»

6. http :// festival .1 september . ru / articles /603009 / – «Комбинаторика – это . » (урок конструирования комбинаторных задач)

8. Математика. 6 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений/Г.В. Дорофеев, С.Б.Суворова, И.Ф.Шарыгин и др.; Под ред. Г.В.Дорофеева, И.Ф.Шарыгина. – 7-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2010. -416 с.: ил.

11. http://festival.1september.ru/articles/595703/ – Мастер-класс по теме «Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения».

Добавляйте авторские материалы и получите призы от Инфоурок

Еженедельный призовой фонд 100 000 Р

  • Павелина Ирина Владимировна
  • Написать
  • 7114
  • 23.07.2018

Номер материала: ДБ-019679

Международные дистанционные олимпиады «Эрудит III»

Доступно для всех учеников
1-11 классов и дошкольников

Рекордно низкий оргвзнос

по разным предметам школьной программы (отдельные задания для дошкольников)

Идёт приём заявок

  • 21.07.2018
  • 243
  • 19.07.2018
  • 161
  • 17.07.2018
  • 233
  • 16.07.2018
  • 172
  • 12.07.2018
  • 278
  • 31.05.2018
  • 2923
  • 16.05.2018
  • 279
  • 10.05.2018
  • 1711

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector